Loi des grands Nombres

Soit $A$ un événement. On répète un très grand nombre de fois et de manière indépendante l'expérience aléatoire et on note $f$ la fréquence à laquelle $A$ est réalisé (c'est-à-dire la fréquence à laquelle l'issue de l'expérience est dans $A$). Quand le nombre d'expériences indépendantes tend vers $+\infty$ (c'est-à-dire devient de plus en plus grand) la fréquence $f$ tend vers $P(A)$.

Principe de la méthode de Monte-Carlo

On considère une fonction $f: [a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ et on souhaite déterminer numériquement une valeur approchée de l'aire $\mathcal{A}_f$ de la partie située sous la courbe représentative de $f$. Pour cela, on considère un rectangle de côté $[a,b]\times [0,M]$ contenant toute la portion de courbe comme sur la figure ci-dessous :

On tire successivement et de manière indépendante des points au hasard dans ce rectangle et on note $A$ l'événement "le point tiré est sous la courbe". Sous l'hypothèse que $P(A)$ est proportionnelle à $\mathcal{A}_f$, d'après la loi des grands nombres, la fréquence à laquelle $A$ est réalisé va s'approcher de plus en plus de $\frac{\mathcal{A}_f}{\mathcal{A}_{\text{rectangle}}}$.